Satz mit endlichem Gedächtnis · Mai 2026

Collatz: Fibonacci-Zustände mit endlichem Gedächtnis & Bernoulli-Zweigdrift

Ein sauberes Ergebnis mit endlichem Gedächtnis zur Paritätsdynamik der Syracuse-Abkürzung. Das gleitende Fenster der Paritätshistorie fällt auf eine rekurrente Fibonacci-Klasse zusammen; unter dem natürlichen Bernoulli-Zweigmaß ist die bedingte Log-Drift gleichmäßig −0.415. Dies beweist die punktweise Collatz-Vermutung NICHT und benennt ausdrücklich, warum keine Korrektur mit endlicher Historie das Ergebnis zu punktweisem Abstieg erheben kann.

Status

v2.8: Symbolische Übertragskoordinaten & Hindernis der Rest-Disjunktheit (5. Mai 2026). Baut auf v2.7 auf (das die zu starke Behauptung zu beschränktem K aus v2.6 korrigierte). Führt das Koordinatensystem α_k für den aperiodischen Rest mit beschränktem K ein: explizite Isolierung des Übertrags, Kriterium für Übertrag null, Christoffel-Verkettungsrekursion, abgewickelte geschlossene Form der K-Kette, Teilsummenkongruenz (S-rec), Ziffernextraktion, die Identität ξ = r·K_a−1 und die korrigierte Bedingung für Übertrag null (F′). Alles auf Satzniveau als algebraische Identitäten.

Zwei benannte offene Vermutungen. (8.31) Universelle Übertrags-Disjunktheit D_n ≠ 0 entlang der kanonischen Christoffel-Trajektorie. (8.32) Kopplungsvermutung A1-mod-4: An Indizes mit a_n+2 = 1 gilt y_n+1 ≡ 1 (mod 4). Letztere ist die fehlende steigungsspezifische Kopplung zwischen dem Kettenbruch-Selektor und dem 2-adischen Rest. Beide an kleinen endlichen Indizes verifiziert, aber keine von beiden für alle n bewiesen.

Status: Christoffel-Lift-Trennungssatz – offen. Universelles D_n ≠ 0 – offen. Vermutung A1-mod-4 – offen. Collatz-Vermutung – nicht bewiesen. v2.8 ist eine Arbeit über Hinderniskoordinaten: Das symbolische System ist auf Satzniveau, die Disjunktheit ist offen.

Was dies nicht ist: ein Beweis der Collatz-Vermutung. Aber der Rahmen verlagert den Rest: In Tiefe 80 wurde kein nicht-ganzzahliger 2-adischer Geister-Hochstapler mit anhaltendem exaktem Nullschwanz-Wachstum gefunden. Jedes anhaltende Nullschwanz-Wachstum ist Treue zu einem ganzzahligen Itinerar. Unterhalb von 2⁷¹ werden diese Verriegelungen durch die Barina-Verifikation ausgeschlossen; oberhalb von 2⁷¹ sind sie gewöhnliche, nicht verifizierte ganzzahlige Trajektorien, keine Geister-Hochstapler. Der klassische Collatz-Rest (kein ganzzahliges Gegenbeispiel oberhalb der Verifikationsgrenze) bleibt bestehen, aber der Kanal 2-adischer Hochstapler ist in der getesteten Größenordnung empirisch geschlossen.

Was v1.6 hinzufügt (Geister-Rahmen)

Vorzeichensatz für den subgenerischen Fall (Satz 8.2). Für jedes periodische K-Muster mit Mittelwert $K < \log_2 3$ ist der zugehörige 2-adische Geist $x = E_L / (2^{A_L} - 3^L)$ negativ. Folglich entspricht keine subgenerische periodische K-Folge einer positiven ganzen Zahl.
Geister-Beschattungslemma (Lemma 8.3). Stimmt eine positive ganze Zahl $n$ in den $r$ niedrigsten Bits mit einem Geist $g$ überein, so folgt die Bahn von $n$ der K-Folge von $g$, solange $A_t < r$. Jeder Abkürzungsschritt verbrennt $K_t$ Bits an Nähe. Das Verbrennen von Bits ist die Rückstellkraft.
Ausschluss periodischer Geister (Korollar 8.5). Kombiniert man den Vorzeichensatz mit Hercher 2022 (kein ganzzahliger Zyklus für $L \le 91$) und Mihăilescu 2002 (Catalan), so gilt: Der einzige positiv-ganzzahlige Geist aus irgendeinem periodischen K-Muster der Länge $\le 91$ ist $x = 1$ (trivialer Zyklus).
Die aperiodische Vermutung (Vermutung 8.4). Der Geist jeder unendlichen aperiodischen subgenerischen K-Folge hat ein nicht abbrechendes 2-adisches Bitmuster. Dies ist der genaue Collatz-Rest, umformuliert als Frage nach einem 2-adischen Bitmuster.

Empirisch verifiziert an $n = 665{,}215$ (längstes bekanntes schlechtes Präfix für $n \le 10^6$): Die Bahn beschattet den $-1$-Geist anfangs für 6 K=1-Schritte (passend zu seinen 7 abschließenden 1en) und tritt dann wieder in tiefe $-1$-Korridore ein, bei den Schritten 22, 40, 47, 88, 119, mit Tiefen bis zu $v_2(n+1) = 10$. Das Verbrennen von Bits ist in der laufenden Trajektorie beobachtbar.

Der frühere Satzblock (v1.5)

Für die Syracuse-Abkürzung von ungerade zu ungerade S_a(n) = (a n + 1) / 2^{ν₂(a n + 1)} mit ungeradem a:

Rekurrente Fibonacci-Klasse. Das gleitende m-Bit-Fenster der Paritätshistorie, abgetastet bei ungeraden Ankünften, lebt auf Ω_m = { h ∈ {0,1}^m : h₀ = 1, h_i h_i+1 = 0 }, dessen Größe die Fibonacci-Zahl F_m ist. Für m = 8: 21 erreichbare Fenster von 256 möglichen.
Bernoulli-Zweigunabhängigkeit. Unter dem natürlichen Haarschen Zweigmaß auf den ungeraden 2-adischen ganzen Zahlen ist K_a = ν₂(a n+1) unabhängig von jeder endlichen Historie und folgt Geom(1/2) mit Mittelwert 2.
Gleichmäßige bedingte Drift. Für jedes h ∈ Ω_m: E[log₂(a) − K_a | h] = log₂(a) − 2. Collatz (a = 3): −0.415 (Abstieg). 5n+1-Kontrolle (a = 5): +0.322 (Wachstum).
Exakte stationäre Gewichte. Formel in geschlossener Form π_m(h), mit Summe 1 auf Ω_m.
Keine punktweise Lyapunov-Korrektur mit endlicher Historie. Der alternierende Zustand hat einen Selbstübergang mit K = 1 und positivem Log-Schritt (+log₂(3) − 1 ≈ +0.585), der strukturell durch keine rein historienbasierte Korrektur (beschränkt oder unbeschränkt) behoben werden kann. Das ist der strukturelle Grund, warum Lyapunov-Programme mit festem Fenster auf punktweiser Ebene scheitern müssen.

Experimentelle Verifikation

Rekonstruktion ganzzahliger Trajektorien (3n+1)

314,261 Stichproben mit 80-Bit-Startwerten. Die aggregierte K-Verteilung stimmt mit Geom(1/2) innerhalb von 1% überein (für k ≤ 8). Pro Zelle liegt E[K | h] bis auf 1.7% beim theoretischen Wert 2. Die Drift pro Zelle passt auf jedem Fibonacci-Zustand im Rahmen des Stichprobenrauschens exakt zu log₂(3) − E[K | h].

Koeffizientenkontrolle (5n+1)

3,000,000 Stichproben mit 200-Bit-Startwerten. Derselbe Fibonacci-21-Träger. Dasselbe Geom(1/2)-K-Gesetz. Das Vorzeichen der Drift kippt auf jeder Zelle zu log₂(5) − 2 ≈ +0.322. Der sauberste verfügbare Koeffizienten-Diskriminator, der das ursprüngliche Collatz-Problem von 5n+1 unterscheidet.

Diagnose des Überlebensbias

Die empirischen Zellgewichte für (3n+1) weichen von π₈ um bis zu 14.9% ab, wobei Randzellen mit langen Lücken systematisch zu selten gezählt werden. Dieselbe Diagnose für (5n+1) reproduziert π₈ auf jeder Zelle innerhalb von 0.7%. Damit wird die Abweichung als Überlebens-Konditionierung bei endlicher Höhe isoliert (der Abstieg absorbiert Trajektorien mit kürzlichen Sprüngen mit großem K vor der Stichprobenziehung) und nicht als Defekt des Zweigmodells.

Was dies nicht liefert

Keinen punktweisen Collatz-Konvergenzsatz. Der punktweise Rest liegt in nicht-generischen, weitreichenden Folgen von Zweigexponenten, die für jedes endliche Historienfenster unsichtbar sind.
Keine Brücke von diesem Ergebnis mit endlichem Gedächtnis zu Taos Satz über fast beschränkte Bahnen (logarithmische Dichte 1 in N). Die beiden Ergebnisse sind orthogonal und betreffen verschiedene Ebenen des Problems.
Keine Verbesserung bestehender Zyklusschranken (Hercher 2022: keine m-Zyklen für m ≤ 91) oder der rechnerischen Verifikation (Barina 2025: kein Gegenbeispiel unterhalb von 2⁷¹).

Dateien

paper.pdf – Preprint, 12 Seiten
paper.tex – LaTeX-Quelltext, 1331 Zeilen (v2.8, mit Koordinatensystem α_k + Hindernis der Rest-Disjunktheit)
supplement.zip – Python-Experimente + rohe JSON-Ausgabe

Zitiervorschlag:

W. Goodfellow, “Finite-memory Collatz parity dynamics: Fibonacci support, Bernoulli branch drift, and the pointwise obstruction.” Preprint, Mai 2026.

Älteres Programm: Arbeit an Zertifikaten über kohärente Blöcke (2025–April 2026)

Ein Programm zu partiellen Zertifikaten und Lift-Invarianz, entwickelt bis April 2026 (Durchgänge 1–50 im lokalen Repository). Das obige Ergebnis mit endlichem Gedächtnis vom Mai 2026 erklärt strukturell, warum dieses Programm auf punktweiser Lyapunov-Ebene scheitern musste: Die Selbstschleife des alternierenden Zustands mit positivem Log-Schritt ist invariant gegenüber jeder rein historienbasierten Korrektur, einschließlich der dort untersuchten Δ-Invariante kohärenter Blöcke.

Was nützlich war

Lift-Invarianz der Blockmarken (L, K, D): rigoros.
Direkte Kontraktionsschranken für direkt kontrahierende Restklassen (3^L/2^K < 1): stichhaltig.
Das Hindernisdokument aus Durchgang 50 benennt ausdrücklich, warum Driftsätze mit festem Fenster für die rohe Δ-Invariante nicht zu punktweisem Abstieg erhoben werden können – im Einklang mit dem Ergebnis mit endlichem Gedächtnis vom Mai 2026, Korollar 6.1.

Was gescheitert ist

Lyapunov-Rahmen über Blockgraphen: strukturell fehlerhaft (die eindeutige Nachfolgerabbildung E_M ist auf dem behaupteten Zustandsraum nicht wohldefiniert).
Kein Beweis des Collatz-Problems aus diesem Programm.

Die früheren Dateien zum „vollständigen Beweis“ sind außerhalb des öffentlichen Bereichs archiviert. Nach heutigem Verständnis hat das Programm genau das gemessen, was das Ergebnis mit endlichem Gedächtnis vom Mai 2026 beschreibt.